Soal :

Tentukan bilangan abcd jika 4.abcd = dcba !

(Dengan abcd masing-masing mewakili 1 bilangan bulat antara 1-9)

Pembahasan:

a yang paling mungkin adalah 1 atau 2. Karena jika a lebih dari 2, maka 4abcd = vwxyz (bilangan 5 digit). Misalkan saja a = 3, maka hasil dari d = 12. Padahal bilangan abcd hanya mewakili 1 digit angka dari 1-9. Sehingga nilai a yang paling memungkinkan adalah 1 atau 2.

Sekarang kita lihat bahwa dcba adalah bilangan genap. Karena bilangan apapun yang dikalikan dengan bilangan genap, pasti akan menghasilkan bilangan genap juga. Contoh : 5 x 4 = 20 (genap); 6 x 4 = 24 (genap),dsb. Nah karena dcba bilangan genap, maka nilai a yang memenuhi adalah 2.

Sekarang kita dapatkan 4.2bcd = dcb2.

Nah sekarang kita lihat bahwa hasil perkalian antara 4 dengan a akan menghasilkan d.

Dengan a = 2, maka 4 x 2 = 8. Namun d belum pasti = 8. Bisa jadi d bernilai 9 karena hasil perkalian sebelumnya yang masi belum diketahui. Jadi d bernilai 8 atau 9. Untuk memastikan nilai d, kita lihat hasil perkalian antara 4 dengan d akan berakhiran dengan 2. Maka dapat dipastikan nilai d = 8.

Sekarang kita dapatkan 4.2bc8 = 8cb2.

Kita ubah ke bentuk

8000 + 400b + 40c + 32 = 8000 + 100c + 10b + 2

390b + 30 = 60c

13b + 1 = 2c

Dari hasil di atas, b = 1.

Karena nilai 2 sudah ditempati oleh a dan jika b = 3, maka c akan > 9.

13.1 + 1 = 2c

c = 7

Sehingga bilangan abcd adalah 2178

OSP Informathic 2008 :

Upik clever mathematics, but he only can write numbers 1 and 2. Therefore, when Upik want to write a number of more than 2, they write some of number 1 and number 2 a few. For example to write down the number 3, right Upik have 3 ways: 12, 21, or 111 (1 + 2 = 3, 2 + 1 = 3; 1 + 1 + 1 = 3). To write down the number 2, in fact Upik have 2 ways: 2 and 11 (2 = 2, 1 + 1 = 2), but there is only 1 way to write down the number 1. How many ways to write the number 8?

Discussion:

In fact, only the array fibonacci course we can already do. Is it only that? Let's see.
To write the number 1, requires a ways (1)
To write the number 2, requires 2 ways (11, 2)
To write a number 3, requires 3 ways (111, 12, 21)
To write the number 4, requires 5 ways (1111, 112, 211, 121, 22)
From way above, we have found the pattern of progression fibonacci.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	5	8	13	21	34	55	89

From the table above we can see that:
To write the number 5, requires 8 ways.
To write the number 6, requires 13 ways.
To write the number 7, requires 21 ways. And,
To write the number 8, requires 34 ways

So to write the number 8, there are 34 ways

Soal :

	T	W	O
	T	W	O	+
F	O	U	R

T, W, O, F, U, dan R masing-masing mewakili sati digit bilangan bulat positif. Dan masing-masing mewakili bilangan yang berbeda. F dan T tidak sama dengan 0.

Jika diketahui R = 0, maka berapakah F + O + U + T ?

Pembahasan :

O pasti bernilai 5, karena 0 sudah menjadi milik R.

Dan T pasti bernilai ≥ 5, karena hasil penjumlahan T + T menyimpan 1 angka di depan,

yaitu F.

Karena T + T = F O, maka dipastikan T = 7 dengan menyimpan 1 angka dari penjumlahan di belakangnya.

	1	1
	7	W	5
	7	W	5	+
1	5	U	0

Sekarang tinggal mencari nilai dari W dan U.

W haruslah bernilai ≥ 5 karena hasil penjumlahan dari W akan menyimpan 1 di depan.

-	W ≠ 5 karena 5 sudah menjadi milik O.
-	W ≠ 7 karena 7 sudah menjadi milik T.
-	W ≠ 8 karena hasil penjumlahan 1 + W + W = 1 U, dan jika W diisi 8 maka hasilnya 1 + 8 + 8 = 17. Padahal angka 7 sudah menjadi milik T.
-	W ≠ 9 karena hasil penjumlahan 1 + W + W = 1 U, dan jika W diisi 9, maka hasilnya 1 + 9 + 9 = 19. Padahal syarat yang berlaku adalah 1 huruf mewakili 1 angka yang berbeda

Jadi nilai W yang paling mungkin adalah 6. ( 1 + 6 + 6 = 13)

Dan nilai U adalah 3.

Sekarang semua angka sudah kita dapatkan,

F + O + U + T = 1 + 5 + 3 + 7 = 16

Soal :

Ada sebuah bilangan n, dimana n = 2²⁰⁰³. Berapakah digit terakhir dari n?

Pembahasan :

Pertanyaan bertipe seperti di atas, biasanya memiliki pola-pola tertentu.

Sekarang mari kita lihat seperti apakah pola yang dibentuk oleh soal di atas.

21 = 2	25 = 32	29 = 512
22 = 4	26 = 64	210 = 1024
23 = 8	27 = 128	211 = 2048
24 = 16	28 = 256	212 = 4096

Nah sudah terlihat kan polanya….

Itu dia perulangan yang disebabkan oleh hasil perpangkatan dari angka 2.

Kita bisa mengambil kesimpulan bahwa terdapat 4 perulangan, yaitu :

Perulangan pertama : digit terakhir 2 ( 1 = 2 )

Perulangan kedua : digit terakhir 4 ( 2 = 4 )

Perulangan ketiga : digit terakhir 8 ( 3 = 8 )

Perulangan keempat : digit terakhir 6 ( 4 = 6 )

Sekarang kita lihat bahwa sisa hasil bagi antara pangkat dengan jumlah perulangan akan memberi hasil posisi perulangan keberapa. Contoh :

7 ÷ 4 = 1 sisa 3. Jadi digit terakhir dari 2⁷ = 8 (perulangan ketiga)

10 ÷ 4 = 2 sisa 2. Jadi digit terakhir dari 2¹⁰ = 4 (perulangan kedua)

Nah, sekarang bagaimana dengan 2²⁰⁰³ ?

Mari kita lihat sisa hasil bagi dari 2003 ÷ 4.

2003 ÷ 4 = 500 sisa 3. Jadi digit terakhir dari 2²⁰⁰³ = 8 (perulangan ketiga)

Question:

3 digit number of the beginning of 2²⁰⁰² x 5²⁰⁰⁵ _is...

Discussion:

Still remember with aⁿ x a^m = a^n+m and aⁿ x bⁿ = abⁿ ?

Should you need to remember back as we will apply them in this matter.

Ø 2²⁰⁰² x 5²⁰⁰⁵

Ø 2²⁰⁰² x 5²⁰⁰² x 5³

Ø 10²⁰⁰² x 5³

Ø 10²⁰⁰² x 125

Multiplication of 5³ with 10²⁰⁰² will give the effect of adding digits zero (0) behind 125.

So the number of 3 digits initial 2²⁰⁰² x 5²⁰⁰⁵ is 1 + 2+ 5 = 8